羅爾定理（Rolle's Theorem）是微積分中的一個重要定理，它描述了在函數可導的前提下，兩個函數的復合函數在其定義域內必定連續(xù)。這個定理對于解決一些微分方程和優(yōu)化問題非常有用。

推廣的羅爾定理可以描述為：如果函數$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可導，且$g(x)$在區(qū)間$[a,b]$上也是可導的，那么函數$F(x)=f(x)g(x)$在區(qū)間$[a,b]$上也是可導的，并且$F'(x)=\frac3ih7pjjnjzpn{dx}[f(x)g(x)]=\frac3ih7pjjnjzpn{dx}(f(x))g(x)+f(x)\frac3ih7pjjnjzpn{dx}(g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。

這個定理的證明可以通過求導數來得到，即先求出$F'(x)$，然后將其與$F(x)$相除，得到$\frac{F'(x)}{F(x)}$。由于$F(x)$在$[a,b]$上可導，所以$\frac{F'(x)}{F(x)}$在$[a,b]$上也必然可導，即$F'(x)$在$[a,b]$上也必然存在。